Программирование в школе

Методические заметки и задачи к урокам

Из портфолио учителя информатики и ИКТ     
e-mail:bezli@mail.ru     

Раздел "Программирование"

Практическая работа "Циклы"

Цель: рассмотреть циклы с предусловием While… do и с постусловием Repeat… until на примере решения задач с использованием рекуррентных соотношений.

Введение. Циклы While… do и Repeat… until используются в целом классе задач, когда повторные вычисления заканчиваются по заданному наперед условию. Например, с помощью этих циклов рассчитывают бесконечные асимптотические ряды для тригонометрических функций, трансцендентные числа PI=3,1415… и основание натурального логарифма e=2,72…

Задача о рассеянном джентльмене. Некто отправился на работу из дома (пункт А) в офис (пункт B). Расстояние между домом и офисом равно 1 км. Пройдя половину пути, джентльмен вспомнил, что не попрощался с семьей, повернул назад и прошел третью часть расстояния и, боясь опоздать на работу, снова повернул и прошел четверть расстояния. Затем снова повернул и прошел 1/5 расстояния и т.д.
На каком расстоянии от офиса окажется джентльмен, если продолжит свои метания? Провести вычисления расстояния с точностью до 1 см.

Нетрудно видеть, что расстояние, на котором окажется джентльмен от дома, можно записать так:
Sд = 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 – 1/7 +… (-1)ⁱ⁺¹ /i… Тогда, с учетом того, что расстояние АВ=1, расстояние расстояние от места работы равно:
S=1-Sд = 1- [1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 +… (-1)ⁱ⁺¹ /i …
Таким образом, в математическом плане необходимо найти сумму гармонического ряда
S= 1-1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 -… (-1)ⁱ⁺¹ /i -…
Суммирование продолжаем, пока абсолютное значение разности сумм, вычисленных на (i+1)-м шаге и i-м шаге, больше наперед заданного малого числа eps , т.е. |S-S1|> eps.
Таким образом, ряд вычисляется приближенно с заданной погрешностью.
Для решения задачи используем цикл While… do

Program harmony_riad;
{Вычисление гармонического ряда};
  uses crt;
  const eps=0.00001;
  var
    i: integer;
    S,S1 :real;
    p: integer;
Begin
  clrscr;
  s1:=0;{начальное значение для 1-го члена ряда }
  s:=1; {суммирование 1-го члена ряда}
  i:=1; {начальное значение для 1-го члена ряда }
  p:=-1; {знак числа}
  while abs(s1-s) > eps do
     begin
    s1:=s; {запоминаем сумму, вычисленную на предылущем шаге}
    i:=i+1; {формирование нечетного числа}
    s:=s+p/i; {суммирование знакопеременного ряда}
    p:= - p; {смена знака}
    end; {while}
  writeln('S от офиса=', s:7:5);
  readln
End.

Задача. Вычислить квадратный корень целого числа а по рекуррентной формуле Герона Xi+1=(X i+а/X i)/2 при заданной точности вычисления eps.

Алгоритм вычисления, Зададим x1 - начальное значение корня из числа а.
Например, X1= a/2.
Тогда каждое следующее приближение вычисляется через предыдущее:
Х2=(X1 + а/X1)/2
Х3=(X2 + а/X2)/2
-----------
Xi+1=(X i + а/X i)/2
Вычисление продолжаем до тех пор, пока разница между X_i+1 и X_i) станет меньше заданной погрешности вычисления eps .
Для решения задачи используем цикл Repeat… until

program mysqrt;
{Вычисление коpня числа по фоpмуле Герона х=(х+а/х)/2}
  Uses Crt;
  const eps=0.0001;
  var
    a:Integer;
x,x1:Real;
Begin
  clrScr;
  Write('Введите число а=');
  Readln(a);
  x:=a/2; {начальное значение корня}
  Repeat
    x1:=x; {запоминаем i-е приближение корня}
    x:=(a/x+x)/2; {вычисляем (i+1)-е приближение корня}
  until abs(x-x1)   Writeln ('Коpень числа ',a,' pавен ',x);
readln
End.

Задание
1. Отладить программу и переписать листинг программы с комментариями в тетрадь.
2. Изменить начальное значение корня X1, задав его равным 1.
3. Вычислить корень из числа с помощью стандартной функции sqrt(a) и сравнить с приближенно вычисленным. В чем разница?
4. Ввести в программе счетчик n для подсчета количества итераций (шагов) и определить, чему равно n при разных значениях погрешности eps. Результат записать в табличку:

Контрольные вопросы

Простые циклы

Задача 1. Написать программу для вычисления n-й степени числа X. Вычисление описать каждым из трех вариантов оператора цикла:
For... to...do, While… do, Repeat… until.

Задача 2. Напишите программу для вычисления n-й степени числа X, задав n как целое.

Задача 3. Итальянский математик Леонардо Фибоначчи, решая задачу о размножении кроликов, описал числовую последовательность вида:
1 1 2 3 5 8 13 21 ...,
названную впоследствие его именем. Нетрудно видеть, что F₁=1, F₂=1, а каждое i-е число равно сумме двух предыдущих :
F_i=F_i-1 + F_i-2
Вычисляя величину отношения больших чисел Фибоначчи V=F_i+1/F_i), можно приблизительно определить константанту золотого сечения. Проведите вычисления с точностью eps=0.001.

Задача 4. Вычислив асимптотический ряд
S= 1-1/3 +1/5 -1/7 + 1/9 - … (-1)ⁱ⁺¹ (1/(2i+1))...
с точностью eps=0.0001 , вы узнаете, чему равно число PI = 4*S
Замечание Здесь удобно использовать такую формулу для нечетного числа:
i:=i+2 (i=1, 2, 3...).

Задача 5. Для заданного x вычислить порядковый номер первого из чисел sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x))), ... , величина которого по модулю меньше 0,0001.

Задача 6. Дана последовательность вещественных чисел, заканчивающаяся 0. Определить является ли она последовательностью вида A_n=An-1/(3n), где n=2,3...

Задачи для разминки
1. Чему будет равно значение переменной х после выполнения фрагмента программы? a:=0;
for i:=1 to 5 do
a:=a+1;

2. Чему будет равно значение переменной f после выполнения фрагмента программы?
f:=2; x:=0;
for i:=1 to 5 do
begin
x:=x+1;
f:= f * x;
end;

3. Чему будет равно значение переменной S после выполнения фрагмента программы? a:=0; S:=0;
while a<= 3 do
begin
S:= S + a;
a:=a+2;
end;

4. Чему будет равно значение переменной S после выполнения фрагмента программы?
S:=1; a:=0;
while a> 0 do
begin
S:= S * 2;
a:=a-1;
end;

5. Чему будет равно значение переменной S после выполнения фрагмента программы?
a:=0; S:=0;
repeat
S:= S + a;
a:=a+2;
until a>2 ;